Integrales por sustitución o cambio de variable

Basado en la expresión:

o expresado de otra manera:

se trata de hacer una sustitución: g(x) = t, a continuación diferenciando la igualdad:

g' (x) dx = dt

Para convertir la integral de x en otra integral de t que sea inmediata, o por lo menos más sencilla de integrar.
Ejemplo 5: Hallemos la integral  

Solución: Podemos observar que cos x es la derivada de sen x, por lo que la sustitución adecuada es:  t = sen x, a continuación diferenciamos ambos miembros y:  dt = cos x dx, entonces:

  Ejemplo 6: Hallemos la integral

  Solución: Podemos observar que 1/x es la derivada de ln x, por tanto la sustitución es ln x = t, y diferenciando tenemos dx/x = dt :

 Ejemplo 7: Hallemos la integral 

  Solución: La sustitución adecuada es:

 Ejemplo 8: Hallemos la integral

 Solución: Podemos observar que la derivada del denominador es (1 + x²)' = 2 x, entonces en la integral podemos multiplicar y dividir por 2:

y ahora hacemos la sustitución: 1 + x² = t ,  2x dx = dt. O sea,

 Ejercicios para el alumno:

BIBLIOGRAFIA 

Granville, "Cálculo diferencial e Integral". Limusa, Trillas.

http://www.ehu.eus/